Este es un "problema" que me conto un amigo y que me pareció muy interesante. Supongamos que rodeamos una esfera muy grande con un aro de metal (por ejemplo el sol, olvidándonos de que no sea exactamente esférico o de que pueda derretir el aro de metal), de forma que dicho aro se encuentra sobre la superficie del sol, es decir, con su mismo perímetro. La pregunta es: si a este aro le añadiésemos un metro más de metal, ¿podríamos pasar una hoja de papel entre el aro y el sol? ¿y tu mano?
Si ya te lo has pensado la solución esta justo debajo, pero piénsalo un poco antes!! ¿Acertaste :P?
Pese a que intuitivamente añadir un metro al aro es casi como no añadir nada (teniendo en cuenta lo grande que es el perímetro del sol), se puede comprobar que realmente esto no es así:
Llamaremos R al radio del aro y R' al radio del aro habiéndole sumado el metro
2πR'=2πR+1 R'=R+1/(2π) R'-R=1/(2π)
Por lo tanto, da igual lo grande o pequeña que sea la esfera que rodeemos, al añadir un metro al aro se separará lo mismo de la superficie, ya sea la del sol o la de una pelota de tenis.
Bertrand Russell describio en 1901 una paradoja con la que puso de manifiesto que la teoría original de conjuntos de Cantor y Frege es contradictoria.
En primer lugar…¿Qué es un conjunto? Los conjuntos son reuniones de cosas: sillas, mesas, sofás, etc. Los conjuntos normales son aquellos q no se contienen a sí mismos, como los citados en el ejemplo. Sin embargo, también existen conjuntos de conjuntos. Por ejemplo, muebles es un conjunto de los conjuntos silla, mesa, etc. A su vez estos conjuntos de conjuntos pueden ser normales o singulares (si se contienen a sí mismos). Un ejemplo de conjuntos singulares es el siguiente: el conjunto de las cosas que no son sillas, y como un conjunto no es una silla, forma parte del conjunto de cosas que no son sillas, es decir, forma parte de sí mismo.
La paradoja consiste en que si no forma parte de sí mismo, pertenece al tipo de conjuntos que no forman parte de sí mismos y por lo tanto forma parte de sí mismo. Es decir, formará parte de sí mismo sólo si no forma parte de sí mismo. Aquí va un ejemplo con el que quizás se vea mejor:
El capitán de un barco manda al único barbero de este que afeite a todo aquel que no se afeite. Por lo tanto el barbero puede afeitarse y que así no le tenga que afeitar el barbero del barco, que es el, o puede no afeitarse pero entonces como único barbero del barco deberá afeitarse a sí mismo. Curiosa paradoja :P
Pierre de Fermat, jurista francés del siglo XVII y apasionado de las Matemáticas, es conocido como el padre de la teoría de números. Gran parte de culpa del interés de Fermat por la teoría de números la tuvo un ejemplar de la Arithmetica de Diofanto de Alejandría que llegó a sus manos. A través de ese libro Fermat comenzó a estudiar propiedades de los números, y en este libro nos dejó su afirmación más emigmática. Al ver un apartado en el que se hablaba del teorema de Pitágoras escribió Fermat lo siguiente: "Es imposible dividir un cubo en suma de dos cubos, o un bicuadrado en suma de dos bicuadrados, o en general, cualquier potencia superior a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este margen es demasiado angosto para contenerla". Es decir, Fermat afirmó que mientras que la ecuación x^2 + y^2 = z^2 sí tienes soluciones enteras positivas, para n más grande no existen tres enteros positivos x, y, z tal que: x^n + y^n = z^n
Esto es, esa ecuación no tiene soluciones enteras positivas si n > 2. Nada menos que 350 años tuvieron que pasar hasta que Andrew Wiles consiguiera demostrar este resultado deduciéndolo como corolario de otro resultado mucho más complicado (conjetura de Shimura-Taniyama-Weil) y que, en principio, no tenía nada que ver con el resultado propuesto por Fermat. Teniendo en cuenta que Fermat no disponía de todas las herramientas que usó Wiles, que la demostración ocupa más de 100 páginas y que en 350 años ningún matemático fue capaz ni tan siquiera de acercarse a una demostración del caso general del problema (sólo se consiguió demostrar casos particulares del mismo) lo más lógico es pensar que aunque Fermat pensaba que poseía esa demostración maravillosa en realidad estaba equivocado, ya que cuesta entender que en tanto tiempo y con tantos matemáticos brillantes dedicados en mayor o menor medida al tema ninguno llegara a la demostración de este hecho.
La popular serie Los Simpsons contiene bastantes referencias matemáticas. No en vano cinco de sus guionistas son licenciados o doctorados en Matemáticas, Física o Informática (algunos con doble titulación). Y no nos referimos sólo a la conocida frase “¡Multiplícate por cero!” de Bart Simpson, sino a otras veladas alusiones para entendidos. Así ocurre en el episodio en que Homer Simpson pasa de su mundo plano a la Tercera Dimensión. En las dos imágenes mostradas se hace referencia a este teorema y, aunque debido al redondeo por efecto o exceso de las calculadoras parezca que la ecuación se cumple, no es así.Se trata de ironías de alguien que sabe de matemáticas.
Muchas son la las leyendas acerca de los agujeros negros: ¿quién no ha oído nunca la teoría de que son una puerta a otra dimensión, a un universo paralelo o cosas por el estilo? Aquí veremos lo que es realmente un agujero negro.
Para entender lo que es un agujero negro empecemos por una estrella como el Sol.
El Sol tiene un diámetro de 1.390.000 kilómetros y una masa 330.000 veces superior a la de la Tierra. Teniendo en cuenta esa masa y la distancia de la superficie al centro se demuestra que cualquier objeto colocado sobre la superficie del Sol estaría sometido a una atracción gravitatoria 28 veces superior a la gravedad terrestre en la superficie.Una estrella corriente conserva su tamaño normal gracias al equilibrio entre una altísima temperatura central, que tiende a expandir la sustancia estelar, y la gigantesca atracción gravitatoria, que tiende a contraerla y estrujarla.
Si en un momento dado la temperatura interna desciende, la gravitación se hará dueña de la situación. La estrella comienza a contraerse y a lo largo de ese proceso la estructura atómica del interior se desintegra. En lugar de átomos habrá ahora electrones, protones y neutrones sueltos. La estrella sigue contrayéndose hasta el momento en que la repulsión mutua de los electrones contrarresta cualquier contracción ulterior.La estrella es ahora una «enana blanca». Si una estrella como el Sol sufriera este colapso que conduce al estado de enana blanca, toda su masa quedaría reducida a una esfera de unos 16.000 kilómetros de diámetro, y su gravedad superficial (con la misma masa pero a una distancia mucho menor del centro) sería 210.000 veces superior a la de la Tierra.En determinadas condiciones la atracción gravitatoria se hace demasiado fuerte para ser contrarrestada por la repulsión electrónica. La estrella se contrae de nuevo, obligando a los electrones y protones a combinarse para formar neutrones y forzando también a estos últimos a apelotonarse en estrecho contacto. La estructura neutrónica contrarresta entonces cualquier ulterior contracción y lo que tenemos es una «estrella de neutrones», que podría albergar toda la masa de nuestro sol en una esfera de sólo 16 kilómetros de diámetro. La gravedad superficial sería 210.000.000.000 veces superior a la que tenemos en la Tierra.En ciertas condiciones, la gravitación puede superar incluso la resistencia de la estructura neutrónica.
En ese caso ya no hay nada que pueda oponerse al colapso. La estrella puede contraerse hasta un volumen cero y la gravedad superficial aumentar hacia el infinito.Según la teoría de la relatividad, la luz emitida por una estrella pierde algo de su energía al avanzar contra el campo gravitatorio de la estrella.
Cuanto más intenso es el campo, tanto mayor es la pérdida de energía, lo cual ha sido comprobado experimentalmente en el espacio y en el laboratorio.La luz emitida por una estrella ordinaria como el Sol pierde muy poca energía. La emitida por una enana blanca, algo más; y la emitida por una estrella de neutrones aún más. A lo largo del proceso de colapso de la estrella de neutrones llega un momento en que la luz que emana de la superficie pierde toda su energía y no puede escapar.Un objeto sometido a una compresión mayor que la de las estrellas de neutrones tendría un campo gravitatorio tan intenso, que cualquier cosa que se aproximara a él quedaría atrapada y no podría volver a salir. Es como si el objeto atrapado hubiera caído en un agujero infinitamente hondo y no cesase nunca de caer. Y como ni siquiera la luz puede escapar, el objeto comprimido será negro. Literalmente, un «agujero negro».
Hoy día los astrónomos están buscando pruebas de la existencia de agujeros negros en distintos lugares del universo.
Aquí os presento un problema que muchos ya conoceréis: los Puentes de Königsberg.
Königsberg era una ciudad de Prusia del siglo XVIII, la cual estaba cruzada por el río Pregel que la dividía en dos, con dos islas en el interior:
Como se ve en la imágen, había siete puentes que conectaban las distintas partes de la ciudad. El problema consistía en comenzar en un punto, pasar por los siete puentes sin repetir ninguno y volver al punto de partida.
El problema fue resuelto por el famoso matemático Leonhard Euler y está considerado como el comienzo de la topología y de la teoría de grafos.
Si queréis intentarlo, lo veréis mejor en esta otra imagen:
Aquí no mostraremos la resolución del problema, ya que es bastante extensa y compleja, pero un poco más abajo encontrarás la solución. Eso si, yo te aconsejo que lo intentes antes. Suerte!!
Solución: a este tipo de problemas es a los que yo llamo con trampa, ya que la solución es que no tiene, es decir, que no puedes comenzar en un punto, pasar por los siete puentes y volver al punto de partida sin repetir ningún puente. El próximo no será un problema trampa :P
Supón que estás en un concurso, y se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas hay un coche, y detrás de las otras, cabras. Escoges una puerta, digamos la nº1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra, digamos la nº3, que contiene una cabra. Entonces te pregunta: "¿No prefieres escoger la nº2?". ¿Es mejor para ti cambiar tu elección?
Este es un problema muy famoso de probabilidad, basado en un programa de televisión estadounidense: Let's Make a Deal
El asunto es el siguiente:
Al concursante se le ofrece la posibilidad de escoger entre tres puertas. Tras una de ellas se encuentra un coche, y tras las otras dos hay una cabra. El concursante gana el premio que se oculta detrás de la puerta que escoja.
Después de que el concursante escoja una puerta, el presentador abre una de las otras dos puertas, mostrando una cabra. Siempre puede hacerlo ya que incluso si el concursante ha escogido una cabra, queda otra entre las puertas que ha descartado y el presentador conoce lo que hay detrás de cada puerta.
Entonces, ofrece al concursante la posibilidad de cambiar su elección inicial y escoger la otra puerta que descartó originalmente, que continúa cerrada.
¿Qué opinas? ¿Debería cambiar de puerta o no?
Si ya lo has pensado y crees saber la respuesta.. aquí está la solución:
Si no tienes ganas de ver el video, ya te adelanto que se tienen más probabilidades de ganar cambiando de puerta, aunque intuitivamente no lo parezca :P
