¿Pasará una hoja de papel?

Este es un "problema" que me conto un amigo y que me pareció muy interesante.
Supongamos que rodeamos una esfera muy grande con un aro de metal (por ejemplo el sol, olvidándonos de que no sea exactamente esférico o de que pueda derretir el aro de metal), de forma que dicho aro se encuentra sobre la superficie del sol, es decir, con su mismo perímetro. La pregunta es: si a este aro le añadiésemos un metro más de metal, ¿podríamos pasar una hoja de papel entre el aro y el sol? ¿y tu mano?


Si ya te lo has pensado la solución esta justo debajo, pero piénsalo un poco antes!! ¿Acertaste :P?

Pese a que intuitivamente añadir un metro al aro es casi como no añadir nada (teniendo en cuenta lo grande que es el perímetro del sol), se puede comprobar que realmente esto no es así:

Llamaremos R al radio del aro y R' al radio del aro habiéndole sumado el metro

2πR'=2πR+1
R'=R+1/(2π)
R'-R=1/(2π)

Por lo tanto, da igual lo grande o pequeña que sea la esfera que rodeemos, al añadir un metro al aro se separará lo mismo de la superficie, ya sea la del sol o la de una pelota de tenis.

La Paradoja de Russell

Bertrand Russell describio en 1901 una paradoja con la que puso de manifiesto que la teoría original de conjuntos de Cantor y Frege es contradictoria.

En primer lugar…¿Qué es un conjunto? Los conjuntos son reuniones de cosas: sillas, mesas, sofás, etc. Los conjuntos normales son aquellos q no se contienen a sí mismos, como los citados en el ejemplo. Sin embargo, también existen conjuntos de conjuntos. Por ejemplo, muebles es un conjunto de los conjuntos silla, mesa, etc. A su vez estos conjuntos de conjuntos pueden ser normales o singulares (si se contienen a sí mismos).
Un ejemplo de conjuntos singulares es el siguiente: el conjunto de las cosas que no son sillas, y como un conjunto no es una silla, forma parte del conjunto de cosas que no son sillas, es decir, forma parte de sí mismo.

La paradoja consiste en que si no forma parte de sí mismo, pertenece al tipo de conjuntos que no forman parte de sí mismos y por lo tanto forma parte de sí mismo. Es decir, formará parte de sí mismo sólo si no forma parte de sí mismo.
Aquí va un ejemplo con el que quizás se vea mejor:



El capitán de un barco manda al único barbero de este que afeite a todo aquel que no se afeite. Por lo tanto el barbero puede afeitarse y que así no le tenga que afeitar el barbero del barco, que es el, o puede no afeitarse pero entonces como único barbero del barco deberá afeitarse a sí mismo.
Curiosa paradoja :P

El Teorema de Fermat

Pierre de Fermat, jurista francés del siglo XVII y apasionado de las Matemáticas, es conocido como el padre de la teoría de números.
Gran parte de culpa del interés de Fermat por la teoría de números la tuvo un ejemplar de la Arithmetica de Diofanto de Alejandría que llegó a sus manos. A través de ese libro Fermat comenzó a estudiar propiedades de los números, y en este libro nos dejó su afirmación más emigmática. Al ver un apartado en el que se hablaba del teorema de Pitágoras escribió Fermat lo siguiente:
"Es imposible dividir un cubo en suma de dos cubos, o un bicuadrado en suma de dos bicuadrados, o en general, cualquier potencia superior a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este margen es demasiado angosto para contenerla".
Es decir, Fermat afirmó que mientras que la ecuación x^2 + y^2 = z^2 sí tienes soluciones enteras positivas, para n más grande no existen tres enteros positivos x, y, z tal que:

x^n + y^n = z^n



Esto es, esa ecuación no tiene soluciones enteras positivas si n > 2.
Nada menos que 350 años tuvieron que pasar hasta que Andrew Wiles consiguiera demostrar este resultado deduciéndolo como corolario de otro resultado mucho más complicado (conjetura de Shimura-Taniyama-Weil) y que, en principio, no tenía nada que ver con el resultado propuesto por Fermat. Teniendo en cuenta que Fermat no disponía de todas las herramientas que usó Wiles, que la demostración ocupa más de 100 páginas y que en 350 años ningún matemático fue capaz ni tan siquiera de acercarse a una demostración del caso general del problema (sólo se consiguió demostrar casos particulares del mismo) lo más lógico es pensar que aunque Fermat pensaba que poseía esa demostración maravillosa en realidad estaba equivocado, ya que cuesta entender que en tanto tiempo y con tantos matemáticos brillantes dedicados en mayor o menor medida al tema ninguno llegara a la demostración de este hecho.




La popular serie Los Simpsons contiene bastantes referencias matemáticas. No en vano cinco de sus guionistas son licenciados o doctorados en Matemáticas, Física o Informática (algunos con doble titulación). Y no nos referimos sólo a la conocida frase “¡Multiplícate por cero!” de Bart Simpson, sino a otras veladas alusiones para entendidos. Así ocurre en el episodio en que Homer Simpson pasa de su mundo plano a la Tercera Dimensión.
En las dos imágenes mostradas se hace referencia a este teorema y, aunque debido al redondeo por efecto o exceso de las calculadoras parezca que la ecuación se cumple, no es así.Se trata de ironías de alguien que sabe de matemáticas.